Sappiamo che la massa si sta muovendo con un velocità iniziale. Il coefficiente di attrito da utilizzare in questa situazione è quindi quello dinamico. L'equazione della dinamica lungo l'asse x vale quindi: Dove si ferma la massa lungo il piano? Possiamo ora integrare la precedente relazione per calcolare la relazione della velocità. Negli estremi di integrazione degli integrali abbiamo considerato la velocità iniziale al tempo zero e una generica velocità ad un generico tempo. Integrando ancora si ottiene l'espressione dello spostamento lungo l'asse x. Gli estremi di integrazione questa volta sono la posizione iniziale della massa al tempo zero ed una generica posizione ad un generico tempo. L'origine del sistema di coordinate coincide con la posizione iniziale della massa. L'ultimo termine di spostamento è quindi pari a zero. La massa ha velocità nulla quando raggiunge il punto più alto lungo il piano inclinato. Dalla relazione della velocità si ottiene quindi: Utilizzando questo tempo possiamo calcolare lo spostamento percorso.
Sul corpo di massa $m_1$ adagiato sul piano inclinato le forze agenti sono: la forza peso $\vec{P}$, scomposta nelle due componenti parallela al piano $\vec{P}_{\parallel}$ e ortogonale al piano $\vec{P}_{\perp}$, la reazione vincolare $\vec{N}$ esercitata dal piano sul corpo, e la tensione $\vec{T}$. Sul corpo sospeso alla fune di massa $m_2$, agiscono invece la forza peso $\vec{P} \ '$ e la tensione della corda $\vec{T}$. La forza risultante sarà la somma vettoriale di tutte queste forze: $\vec{P}_\perp$ ed $\vec{N}$ si compensano, così come la tensione della fune $\vec{T}$. Le uniche due forze restanti sono la componente parallela al piano inclinato del peso del corpo $1$ $\vec{P}_\parallel$ e il peso del corpo $2$ $\vec{P} \ '$. Per l'equazione fondamentale della dinamica, quindi, $$ F_{\text{ris}} = P_\parallel + P \ ' = (m_1 + m_2) a $$ Sostituiamo i pesi: $P_\parallel = \sin(\alpha) \ m_1 g$ e $ P' = m_2 g $ e otteniamo $$ \sin(\alpha) \ m_1 g - m_2 g = (m_1 + m_2) a \Rightarrow a = g \ \frac{\sin(\alpha) m_1 - m_2}{m_1 + m_2} $$ Fare attenzione ai segni: i due pesi hanno verso opposto!
La forza di attrito rappresenta un caso di forza passiva. Oltre a questa possiamo annoverare tra le forze passive le tensioni: immaginando un sistema fisico composto da due corpi che interagiscono e un corpo intermedio, le tensioni sono le forze elastiche esercitate dai corpi intermedi che consentono la trasmissione delle forze da un corpo all'altro. Esponiamo tre semplici casi: sistemi di due corpi che si muovono su un piano orizzontale, collegati da una fune tesa; sistemi di corpi in contatto tra loro; sistemi di corpi collegati attraverso carrucole. Forze trasmesse attraverso funi Una fune, fisicamente, è un corpo di massa trascurabile, inestensibile e incomprimibile, che è in grado di trasmettere forze da un capo all'altro: quando le forze sono trasmesse attraverso funi, la forza viene applicata su un corpo e trasmessa all'altra. Il risultato complessivo è che i due corpi si muovono come un tutt'uno e quindi con la medesima accelerazione $a$. L' accelerazione può essere calcolata facendo riferimento alla seconda legge di Newton.
Di conseguenza se l'accelerazione è diversa da zero, allora il corpo inizia a muoversi di moto rettilineo uniformemente accelerato; se invece l'accelerazione è uguale a zero, allora il corpo rimane fermo perché è inizialmente fermo. Angolo critico per l'equilibrio sul piano inclinato con attrito Dalla lezione sulla forza d'attrito sappiamo che, se la forza che cerca di mettere in moto il corpo (nel nostro caso) ha un valore inferiore a quello della forza di attrito statico, allora il corpo rimane fermo. Riguardiamo la formula per l'accelerazione ricavata poco sopra. È possibile determinare un angolo al di sotto del quale l'accelerazione risulti nulla, ossia ci sia equilibrio sul piano inclinato? Certamente: per angoli al di sotto di una certa ampiezza il corpo non si mette in movimento. L' angolo critico di equilibrio, al di sopra del quale il corpo comincia a scendere lungo il piano inclinato, si trova uguagliando la componente lungo l'asse x della forza peso alla forza d'attrito, ovvero ponendo la forza risultante uguale a zero.
In particolare essa è pari al rapporto tra la forza esterna $F$ e la somma delle masse $m_1 + m_2$: $$ a = \frac{F}{m_1 + m_2} $$ Per calcolare invece la tensione della fune $T$ bisogna fare riferimento ai disegni sottostanti: facciamo un computo delle forze in gioco. Per il corpo di sinistra la tensione è l'unica forza agente ed è quindi rivolta verso destra e pari in modulo, ancora per la seconda legge della dinamica, al prodotto dell'accelerazione $a$ per la massa del corpo $m_1$ $$ T = m_1 \cdot a = \frac{m_1}{m_1+m_2} F $$ Per il corpo di destra, invece, la tensione $T$ è diretta verso sinistra, mentre la forza esterna $F$ a destra. La differenza tra $F$ e $T$ è la risultante delle forze applicate al corpo e quindi pari al prodotto tra $a$ e massa del corpo $m_2$: $$ F - T = F - \frac{m_1}{m_1 + m_2} F = \frac{m_2}{m_1 + m_2} F $$ Forze di contatto Quando due corpi sono attaccati e vengono spinti l'uno contro l'altro da una forza esterna $F$, la trasmissione della forza avviene per contatto: il moto avviene come se i due corpi, l'uno di massa $m_1$ e l'altro di massa $m_2$, fossero un unico corpo di massa totale $m_1 + m_2$.
Al contrario, se: il corpo rallenta muovendosi di moto uniformemente decelerato, fino a fermarsi. Nel caso in cui invece risultasse allora la forza risultante sarebbe nulla e saremmo in presenza di un moto rettilineo uniforme. Esempio: piano inclinato con attrito e una forza aggiuntiva Per esercizio possiamo considerare un esempio sul piano inclinato con attrito in cui viene coinvolta un'ulteriore forza. Ad esempio potrebbe esserci un'altra forza in gioco, tale da tirare il corpo verso l'alto o verso il basso. A seconda del verso del moto, dobbiamo rappresentare la forza d'attrito nel modo corretto ovvero sempre nel verso opposto al moto. Nel primo caso la forza risultante, tutta concentrata lungo l'asse x, è data da: Nel secondo invece: Badate bene che quelle appena scritte sono relazioni vettoriali, anche se non sembra (stiamo ragionando lungo un asse specifico)... Può anche capitare la situazione in cui, in base ai dati di cui disponiamo, non siamo in grado di capire con certezza se il corpo debba scendere o salire lungo il piano.