In parole povere, una funzione è iniettiva se comunque si scelgano due elementi che hanno la stessa immagine, allora i due elementi devono necessariamente coincidere Possiamo rappresentare graficamente la definizione di funzione iniettiva con un semplice esempio: Nella lezione successiva spiegheremo nel dettaglio il metodo per stabilire se una funzione è iniettiva. Funzione biunivoca (funzione biettiva) L'uno e l'altro non si può? :) Certamente: diremo funzione biunivoca (o funzione biettiva, o ancora che stabilisce una corrispondenza 1 a 1) una qualsiasi funzione che è sia iniettiva che suriettiva. Graficamente avremo una situazione come nella figura sottostante. La nozione di funzione biunivoca è particolarmente importante in Analisi Matematica perché equivale ad un'ulteriore proprietà che presenteremo nel seguito: una funzione biettiva è invertibile, infatti è sufficiente invertire il verso delle frecce (come nella figura sottostante) per ottenere ancora una volta una funzione. L'ipotesi di biunivocità garantisce che la funzione che effettua il percorso inverso sia a tutti gli effetti una funzione, infatti soddisfa la regola per cui le frecce non possono sdoppiarsi, e nello specifico viene chiamata funzione inversa di.
Dato che i numeri reali costituiscono un insieme infinito non numerabile, la rappresentazione sagittale è una scelta infelice per una funzione di questo tipo: potenzialmente, dovremmo disegnare un numero infinito non numerabile di frecce! La rappresentazione cartesiana è, invece, molto adatta a questa situazione: infatti $\mathbb{R}$ viene solitamente rappresentato come una retta orientata, e il prodotto cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ diventa in maniera naturale un piano - il piano cartesiano - dotato di un sistema di riferimento, che altro non è che l'unione delle due rette che rappresentano $A = \mathbb{R}$ e $B = \mathbb{R}$. Come esempio, consideriamo la funzione$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ che consiste nell'elevamento al quadrato, così definita: $$y = f(x) \quad \Leftrightarrow \quad y = x^2, \quad x \in A=\mathbb{R}, y \in B=\mathbb{R}. $$ Questa funzione manda ciascun $x$ nel suo quadrato $y = x^2$. $f$ non è iniettiva: infatti esistono degli $y \in B = \mathbb{R}$ che sono in relazione con più di un elemento $x \in A = \mathbb{R}$.
Abbiamo visto la definizione di una funzione \(f: A\to B\) come una relazione che ad ogni \( x\in A\) fa corrispondere uno e un solo \(y \in B\). Abbiamo anche notato che ad ogni elemento di \(A\) deve corrispondere un'immagine in \(B\), ma non è detto che ogni elemento di \(B\) abbia una controimmagine in \(A\). Infine abbiamo visto che ad un elemento \(x\in A\) deve corrispondere un solo elemento \(y\in B\) ma non è vietato che due diversi elementi \(x_1, x_2\in A\) vadano nello stesso elemento \(y\in B\). È possibile escludere comportamenti di questo tipo richiedendo le proprietà aggiuntive di iniettività e suriettività. Vediamo nel dettaglio le definizioni in questione. Funzioni iniettive Intuitivamente una funzione è iniettiva se non succede che due frecce vadano nello stesso elemento del codominio cioè si ha una corrispondenza "uno a uno". Diamo quindi la definizione: Una funzione \(f: A \to B\) si dice iniettiva se ad elementi distinti del dominio associa immagini distinte. In formule: dati \(x_1, x_2 \in A\) $$x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$$ Equivalentemente si può anche richiedere che se due elementi hanno la stessa immagine, allora essi coincidono.
In particolare, se è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente). [4] Viceversa, se è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine,. Dunque la retta interseca il grafico in almeno due punti: e. Omomorfismi [ modifica | modifica wikitesto] Un omomorfismo di gruppi è iniettivo ( monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro. [5] [6] In particolare, un' applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo. [7] Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell' immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.